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Le théorème de Bellman ? Cela ne vous dit rien ? Moi non plus, cela ne me disait rien, jusqu’à ce qu’un jour mon ami Jean-Pierre Bombled en parle devant les membres d’une association que je présidais alors, dédiée au dialogue social dans l’entreprise, à l’occasion d’une formation sur la pensée du complexe. On y est revenu depuis dans divers échanges et, très récemment, Jean-Pierre m'a invité à assister à un exposé qu’il faisait spécifiquement sur ce sujet, devant des membres de l’Institut Bull. Je n'entends pas, bien sûr, redonner ici ne serait-ce qu'un aperçu de cette passionnante leçon scientifique où il a été traité de systémique, de physique, de thermodynamique, d'entropie... mais seulement en extraire quelques éléments susceptibles d'éclairer notre réflexion sur la conduite des affaires humaines.

 

Qui est Bellman ? C’est un mathématicien américain (1920-1984) qui a étudié les mathématiques appliquées et travaillé sur les problèmes d’optimisation. Connu par les spécialistes pour son ouvrage Dynamic programming (1963), il apporta une contribution majeure à la théorie de la décision et à la théorie du contrôle optimal.

 

Mais venons-en à la chose. Qu’est-ce qu’un mathématicien a à nous dire sur le comportement humain ? A priori ce n’est pas de son domaine et, de fait, nous allons parler avec Bellman de systèmes et de règles de physique - mais, à y bien réfléchir, qu’est-ce que la vie sociale, sinon un système à composantes humaines ? L’humain a des modes de fonctionnement moins stéréotypés que la physique usuelle, mais il ressortit tout autant de la systémique, avec un haut niveau de complexité. Tout ce qu’on peut apprendre sur le fonctionnement optimal d’un système est susceptible de nous intéresser quant à notre pratique de la vie sociale.

 

De la notion de système je ne retiens, pour tenter de rester simple, que quelques caractéristiques. Un système est un lieu d’interactions (internes entre les éléments des sous-systèmes, et externes avec l’environnement). Quand on pense système, on ne pense pas en termes d’être (comme en pensée simple, on dit par exemple d’un individu : il est ceci ou il est cela) mais en termes de fonctionnement (comment il fonctionne : de quelle manière dans quelles circonstances). Un système est contraignant pour les éléments des sous-systèmes : c’est un lieu où les frustrations sont inévitables et appelle donc une gestion pas évidente.

 

D’où la question (qui se pose en physique, mais aussi pour tout système à composantes humaines) : comment optimiser un système ? Y a-t-il une règle d’optimisation, c’est-à-dire, si un système est organisé pour atteindre un certain résultat, existe-t-il une règle pour atteindre ce résultat de la façon la plus optimale : avec le moins de frustrations.

 

Bellman va donner pour l’optimisation une règle nécessaire (non suffisante) qui s’énonce comme ceci : L’optimisation (fonctionnelle) d’un système implique nécessairement la sous-optimisation de tous les sous-systèmes (par rapport à ce que chacun aurait désiré).

 

L’énoncé brut de fonderie de la proposition paraît un peu abscons. Mais voyons-en une illustration, très éclairante, qu’aime à en donner Jean-Pierre B.

 

Transportons-nous au Rijksmuseum d’Amsterdam, où sont exposés les chefs-d’oeuvre les plus importants de la collection de peintures du siècle d’or néerlandais. Dans la dernière salle de la galerie d’honneur, dans l’axe longitudinal du musée, un grand tableau attire tous les regards : La Ronde de nuit (1642) de Rembrandt ; dans la même salle est exposé un autre chef-d’oeuvre Le Banquet de la garde civile d’Amsterdam fêtant la paix de Münster (1648) de Bartholomeus van der Helst, mais le public s’y arrête peu. Pourquoi, de ces deux tableaux placés l’un près de l'autre, l’un fascine, l’autre moins ? Observons les deux peintures.

 

 

 

 

 

 

Dans le tableau de Rembrandt, deux personnages sont optimisés : le commandant de la garde et son lieutenant. Les autres personnages, en arrière-plan dans la demi-obscurité, sont sous-optimisés, à des degrés différents les uns par rapport aux autres. Ils forment ensemble comme un fond, duquel se détachent, au centre de la composition, placés dans la lumière, le commandant, habillé de noir avec son écharpe rouge, et son lieutenant qui, vêtu de clair, paraît plus optimisé que le commandant. Cependant, à y regarder de plus près, c’est l’inverse qui est vrai : les pieds en arrière, le lieutenant est dans la position de celui qui est venu chercher la consigne — le patron, c’est bien l’homme en noir, qui de la main droite tient le bâton de commandement... 

 

 

 

 

... cependant que de la gauche il donne l'ordre du départ : l'ombre portée de sa main sur le lieutenant met celui-ci en recul ; subtilement, le lieutenant est désoptimisé...

 

 

 

 

 

 

En comparaison, dans le tableau de van der Helst, aucun personnage n’est sous-optimisé : tous sont admirablement portraiturés, mais placés  sur le même plan, posant de manière convenue. L’impression est comme celle d’un cliché photographique. Là où Rembrandt relate une histoire, déroule un récit avec ses ombres et lumières, met en scène des personnages en action, van der Helst ne fait que représenter un portrait de groupe.

 

L'exposé passionnant de Jean-Pierre B. aborde bien d'autres sujets autour de cette problématique de l’optimisation. De multiples applications illustrent la pertinence du théorème de Bellman, souvent en creux. Exemples :  un joueur de foot qui joue perso, ou le fonctionnement de l’UE (chacun son intérêt). 

 

À vrai dire, je pense que bien des systèmes à composantes humaines, tant dans le domaine politique que social ou économique... seraient à passer au crible de Bellman. pour juger de leur optimisation ou non.  Ainsi par exemple du fonctionnement des instances financières dans le système économique : elles ne sont certainement pas sous-optimisées. On comprend la difficulté du système à être optimisé — j'entends finalisé sur l’humain comme il devrait être — si les éléments, en particulier financiers, du sous-système, ne sont jamais sous-optimisés, mais jouent leur propre jeu selon leurs propres intérêts.

 

Autre domaine d'application de Bellman, analogique sans doute, auquel je pense, c'est précisément le fonctionnement de la pensée. La facilité, pour se construire un système de pensée personnelle, son propre référentiel, c'est de convoquer comme à un banquet les idées reçues, les croyances, les évidences, en les acceptant comme telles sur le même plan sans critique. Mais, ce que nous dit Bellman, c'est qu'il n'est pas d'optimisation fonctionnelle d'un système sans la nécessaire sous-optimisation de tous les sous-systèmes par rapport à ce que chacun aurait désiré. Analogiquement parlant, sous-optimiser les sous-systèmes de pensée, c'est revenir sur ce que l'on croit, interroger nos préjugés, nos croyances, nos évidences, regarder de quoi elles sont faites et les mettre à l'épreuve, dans l'optique d'optimiser le système en fonction du résultat recherché, qui est ici de se construire une pensée personnelle efficiente. Ce n'est pas de solutions toutes faites que nous avons besoin, ce sont des interrogations, des questions, des mises en cause, des mises en doute — en somme sous-optimiser le prêt à penser. 

 

Mes remerciements à Jean-Pierre B. pour ce magistral exposé qui donne intelligemment à penser.

 

 

 

 

 

Mais que font-ils donc tous — à se dispenser de regarder chacun le tableau, s'en laisser imprégner ? Le sous-système smartphone du système d'acquisition des connaissances ne paraît guère en voie de sous-optimisation...